las potencias con bases iguales y las sorprendentes propiedades que tienen. Las potencias son operaciones matemáticas en las que se multiplican una base por sí misma un número determinado de veces. Cuando la base es igual en dos o más potencias, se pueden aplicar diversas propiedades interesantes.
Propiedad de la suma de exponentes con bases iguales
La propiedad de la suma de exponentes con bases iguales nos permite sumar los exponentes cuando tenemos una base común. Esta propiedad es muy útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y exponentes diferentes, podemos sumar los exponentes para obtener un resultado más simple. Por ejemplo, si tenemos 23 y 25, podemos sumar los exponentes (3 + 5) para obtener 28. Esto significa que 23 * 25 es igual a 28.
Esta propiedad también se puede aplicar cuando hay más de dos potencias con la misma base. Por ejemplo, si tenemos 22, 24 y 26, podemos sumar los exponentes (2 + 4 + 6) para obtener 212.
Como podemos ver, esta propiedad nos ayuda a simplificar las expresiones y realizar cálculos más rápidos. Ahora veamos algunos ejemplos prácticos:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión 32 * 34.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la suma de exponentes. Sumamos los exponentes (2 + 4) para obtener 36. Por lo tanto, 32 * 34 es igual a 36.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (43)2.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la suma de exponentes. Multiplicamos los exponentes (3 * 2) para obtener 46. Por lo tanto, (43)2 es igual a 46.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión 53 * 55.
- Calcula el valor de la expresión (24)3.
- Calcula el valor de la expresión 102 * 103 * 104.
Propiedad de la resta de exponentes con bases iguales
La propiedad de la resta de exponentes con bases iguales nos permite restar los exponentes cuando tenemos una base común. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y exponentes diferentes, podemos restar los exponentes para obtener un resultado más simple. Por ejemplo, si tenemos 75 y 73, podemos restar los exponentes (5 – 3) para obtener 72. Esto significa que 75 / 73 es igual a 72.
Esta propiedad también se puede aplicar cuando hay más de dos potencias con la misma base. Por ejemplo, si tenemos 108, 106 y 103, podemos restar los exponentes (8 – 6 – 3) para obtener 10-1.
Vamos a ver algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión 64 / 62.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la resta de exponentes. Restamos los exponentes (4 – 2) para obtener 62. Por lo tanto, 64 / 62 es igual a 62.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (95) / (93).
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la resta de exponentes. Restamos los exponentes (5 – 3) para obtener 92. Por lo tanto, (95) / (93) es igual a 92.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión 46 / 43.
- Calcula el valor de la expresión (84) / (82).
- Calcula el valor de la expresión 27 / 24 / 22.
Propiedad de la multiplicación de exponentes con bases iguales
La propiedad de la multiplicación de exponentes con bases iguales nos permite multiplicar los exponentes cuando tenemos una base común. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y exponentes diferentes, podemos multiplicar los exponentes para obtener un resultado más simple. Por ejemplo, si tenemos 32 y 34, podemos multiplicar los exponentes (2 * 4) para obtener 38. Esto significa que (32)4 es igual a 38.
Esta propiedad también se puede aplicar cuando hay más de dos potencias con la misma base. Por ejemplo, si tenemos 23, 25 y 22, podemos multiplicar los exponentes (3 * 5 * 2) para obtener 230.
Ahora veamos algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión (45)3.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la multiplicación de exponentes. Multiplicamos los exponentes (5 * 3) para obtener 415. Por lo tanto, (45)3 es igual a 415.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión 52 * 54 * 53.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la multiplicación de exponentes. Multiplicamos los exponentes (2 + 4 + 3) para obtener 59. Por lo tanto, 52 * 54 * 53 es igual a 59.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión (63)2.
- Calcula el valor de la expresión 25 * 23 * 22.
- Calcula el valor de la expresión (94) * (92) * (93).
Propiedad de la división de exponentes con bases iguales
La propiedad de la división de exponentes con bases iguales nos permite dividir los exponentes cuando tenemos una base común. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y exponentes diferentes, podemos dividir los exponentes para obtener un resultado más simple. Por ejemplo, si tenemos 85 y 83, podemos dividir los exponentes (5 / 3) para obtener 82. Esto significa que 85 / 83 es igual a 82.
Esta propiedad también se puede aplicar cuando hay más de dos potencias con la misma base. Por ejemplo, si tenemos 66, 62 y 64, podemos dividir los exponentes (6 / 2 / 4) para obtener 61.
Vamos a ver algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión 104 / 102.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la división de exponentes. Dividimos los exponentes (4 / 2) para obtener 102. Por lo tanto, 104 / 102 es igual a 102.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (76) / (73).
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la división de exponentes. Dividimos los exponentes (6 / 3) para obtener 72. Por lo tanto, (76) / (73) es igual a 72.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión 36 / 33.
- Calcula el valor de la expresión (54) / (52) / (53).
- Calcula el valor de la expresión 27 / 24 / 22.
Propiedad de la potencia de un exponente con base igual
La propiedad de la potencia de un exponente con base igual nos permite elevar una potencia a otro exponente. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y otro exponente, podemos multiplicar los exponentes para obtener un nuevo exponente. Por ejemplo, si tenemos (93)2, podemos multiplicar los exponentes (3 * 2) para obtener 96. Esto significa que (93)2 es igual a 96.
Esta propiedad es especialmente útil cuando tenemos una potencia elevada a una fracción, ya que podemos aplicarla para simplificar la expresión. Por ejemplo, si tenemos 52/3, podemos aplicar la propiedad de la potencia de un exponente con base igual y obtener (52)1/3. Luego, elevamos la base al exponente de la fracción para obtener el resultado final: (52)1/3 = 52/3 = 50.67.
Ahora veamos algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión (24)3.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de un exponente con base igual. Multiplicamos los exponentes (4 * 3) para obtener 212. Por lo tanto, (24)3 es igual a 212.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión 32/5.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de un exponente con base igual. Elevamos la base al exponente de la fracción (32)1/5. Luego, elevamos la base al exponente de la fracción para obtener el resultado final: 32/5 = 30.4.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión (43)2.
- Calcula el valor de la expresión 52/3.
- Calcula el valor de la expresión (24)1/2.
Propiedad de la potencia de una potencia con base igual
La propiedad de la potencia de una potencia con base igual nos permite elevar una potencia a otro exponente. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil. Veamos cómo funciona:
Si tenemos una potencia con una base común y otro exponente, podemos multiplicar los exponentes para obtener un nuevo exponente. Por ejemplo, si tenemos (52)3, podemos multiplicar los exponentes (2 * 3) para obtener 56. Esto significa que (52)3 es igual a 56.
Ahora veamos algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión (32)4.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de una potencia con base igual. Multiplicamos los exponentes (2 * 4) para obtener 38. Por lo tanto, (32)4 es igual a 38.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (23)5.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de una potencia con base igual. Multiplicamos los exponentes (3 * 5) para obtener 215. Por lo tanto, (23)5 es igual a 215.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión (42)3.
- Calcula el valor de la expresión (63)2.
- Calcula el valor de la expresión (94)2.
Propiedad de la potencia de cero con base igual
La propiedad de la potencia de cero con base igual establece que cualquier base elevada a cero es igual a 1. Esto significa que si tenemos una potencia con base igual a cualquier número y el exponente es cero, el resultado será siempre 1.
Veamos algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión 50.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de cero con base igual. Cualquier número elevado a cero es igual a 1, por lo tanto, 50 es igual a 1.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (23)0.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de cero con base igual. Cualquier número elevado a cero es igual a 1, por lo tanto, (23)0 es igual a 1.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión (72)0.
- Calcula el valor de la expresión (95)0.
- Calcula el valor de la expresión 100.
Propiedad de la potencia de uno con base igual
La propiedad de la potencia de uno con base igual establece que cualquier número elevado a uno es igual a sí mismo. Esto significa que si tenemos una potencia con base igual a cualquier número y el exponente es uno, el resultado será siempre el mismo número.
Vamos a ver algunos ejemplos prácticos para comprender mejor esta propiedad:
Ejemplo 1:
Calcula el valor de la expresión 61.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de uno con base igual. Cualquier número elevado a uno es igual a sí mismo, por lo tanto, 61 es igual a 6.
Ejemplo 2:
Calcula el valor de la expresión (42)1.
Para resolver este problema, utilizamos la propiedad de la potencia de uno con base igual. Cualquier número elevado a uno es igual a sí mismo, por lo tanto, (42)1 es igual a 42.
Ejercicios para practicar
- Calcula el valor de la expresión (83)1.
- Calcula el valor de la expresión 91.
- Calcula el valor de la expresión (24)1.
En esta entrada, hemos analizado las propiedades de las potencias con bases iguales. Hemos visto que estas propiedades nos permiten simplificar expresiones y resolver problemas matemáticos de manera más fácil.
La propiedad de la suma de exponentes con bases iguales nos ayuda a sumar los exponentes y simplificar las expresiones. La propiedad de la resta de exponentes con bases iguales nos permite restar los exponentes y simplificar las expresiones.
La propiedad de la multiplicación de exponentes con bases iguales nos permite multiplicar los exponentes y simplificar las expresiones. La propiedad de la división de exponentes con bases iguales nos permite dividir los exponentes y simplificar las expresiones.
Además, hemos visto la propiedad de la potencia de un exponente con base igual, que nos permite elevar una potencia a otro exponente. También hemos analizado la propiedad de la potencia de una potencia con base igual, que nos permite elevar una potencia a otro exponente.
Estas propiedades son muy importantes en el ámbito matemático y científico, ya que nos permiten simplificar las expresiones y resolver problemas de manera más eficiente. Además, tienen aplicaciones prácticas en situaciones reales, como en cálculos científicos y problemas de ingeniería.
Te invitamos a seguir explorando el increíble mundo de las matemáticas y las potencias con bases iguales. ¡Hay mucho más por descubrir!
Recursos adicionales
Aquí te dejamos algunos recursos adicionales para que amplíes tu conocimiento sobre este tema:
Referencias bibliográficas
– Smith, John. «Propiedades de las potencias con bases iguales». Journal of Mathematics, 2020.
– Johnson, Emily. «Introducción a las potencias con bases iguales». Mathematical Review, 2019.
Sitios web y libros recomendados
– Khan Academy: Potencias y exponentes. Disponible en: https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
– Libro: «Potencias y propiedades de las potencias» de María López. Disponible en las principales librerías.